Question

如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．
（1）求证：MN∥平面BCD；
（2）求证：平面BCD⊥平面ABC；
（3）若AB=1，BC=

3

，求直线AC与平面BCD所成的角．

Answer 1

分析：（1）因为M，N分别是AC，AD的中点，所以MN∥CD．由此能够证明MN∥平面BCD．
（2）因为AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，所以AB⊥CD．因为CD⊥BC且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．由此能够证明平面BCD⊥平面ABC．
（3）因为AB⊥平面BCD，所以∠ACB为直线AC与平面BCD所成的角．由此能够求出直线AC与平面BCD所成的角．

解答：解：（1）∵M，N分别是AC，AD的中点，
∴MN∥CD．
∵MN?平面BCD且CD?平面BCD，
∴MN∥平面BCD．
（2）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD．
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC．
∵CD?平面BCD，
∴平面BCD⊥平面ABC．
（3）∵AB⊥平面BCD，
∴∠ACB为直线AC与平面BCD所成的角． 
在直角△ABC中，AB=1，BC=

3

，
∴tan∠ACB=

AB

BC

=

3

3

．
∴∠ACB=30°．
故直线AC与平面BCD所成的角为30°．

点评：本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．