Question

12．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S，满足${a}_{n+1}^{2}$=2S_n+n+4，且a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前3项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=$\frac{n}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n+1}^{2}$=2S_n+n+4，得到2S_n=${{a}_{n+1}}^{2}$-n-4，当n≥2时，$2{S}_{n-1}={{a}_{n}}^{2}-（n-1）-4$，两式相减并化简，得数列{a_n}为等差数列，再由题目中其他条件结合等差数列和等比数列的性质能计算出{a_n}、{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=$\frac{n}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{n}{{2}^{n}}-（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，利用分组求和法、错位相减法和裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S，满足${a}_{n+1}^{2}$=2S_n+n+4，
∴2S_n=${{a}_{n+1}}^{2}$-n-4，①
当n≥2时，$2{S}_{n-1}={{a}_{n}}^{2}-（n-1）-4$，②
①-②，得：2a_n=${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}$-1，∴${{a}_{n+1}}^{2}=（{a}_{n}+1）^{2}$，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+1，
∵a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前3项，
∴${{a}_{3}}^{2}=（{a}_{2}-1）×{a}_{7}$，即（a₁+2）²=（a₁+1-1）×（a₁+6），
解得a₁=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×1=n+1．
b₁=a₂-1=（2+1）-1=2，
b₂=a₃=3+1=4，
∴等比数列{b_n}的公比q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴b_n=${b}_{1}{q}^{n-1}$=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）∵c_n=$\frac{n}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{n}{{2}^{n}}-（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=（$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$）-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=（$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$）-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$），
设S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，③
则$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，④
③-④，得$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=$1-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n+1}}+\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法、错位相减法和裂项求和法的合理运用，是中档题．