Question

若函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，y＞0，满足f(

x

y

)=f(x)-f(y)，则不等式f(x+6)-f(

1

x

)＜2f(4)的解为（　　）

A．（-8，2）

B．（2，8）

C．（0，2）

D．（0，8）

Answer 1

分析：采用赋值法求出f（1）的值；且根据f（

x

y

）=f（x）-f（y），得到f（x）+f（y）=f（x•y），将所求不等式变形，再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．

解答：解：∵对一切x＞0，y＞0满足f（

x

y

）=f（x）-f（y），
∴对一切x＞0，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），且f（1）=0，
∴f（x+6）-f（

1

x

）＜2f（4）变形为：f（x+6）+f（x）＜f（16），
即f[x（x+6）]＜f（16），又函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴x（x+6）＜16，即（x-2）（x+8）＜0，
解得：-8＜x＜2，又x＞0，
则所求不等式的解集为（0，2）．
故选C

点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了赋值法，赋值法是解决抽象函数常用的方法．抽象函数是以具体函数为背景的，“任意x＞0，y＞0时，f（x）+f（y）=f（x•y）”的背景函数是f（x）=log_ax（a＞0），我们可以构造背景函数来帮助分析解题思路．