Question

1．已知p：函数y=lg（x²+mx+1）的值域为R．q：函数y=lg[4x²+4（m-2）x+1]的定义域为R．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p是真命题，则△≥0，解得m范围．若命题q是真命题，则△＜0，解得m范围．若p∨q为真，p∧q为假，则p与q必然一真一假．即可得出．

解答 解：命题p：函数y=lg（x²+mx+1）的值域为R，∴△=m²-4≥0，解得m≥2或m≤-2．
命题q：函数y=lg[4x²+4（m-2）x+1]的定义域为R，∴△=16（m-2）²-16＜0，解得1＜m＜3．
若p∨q为真，p∧q为假，
则p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥2或m≤-2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜m＜2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得m≤-2或m≥3，或1＜m＜2．
∴实数m的取值范围是m≤-2或m≥3，或1＜m＜2．

点评 本题考查了对数化为的单调性、二次函数的取值与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．