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(本小题满分14分)

如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,,AA1=4,点D是AB的中点.

(1)求证:AC⊥BC1;

(2)求的体积;

(3)求二面角的平面角的余弦值.

 

【答案】

(1)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,

BC=4,AB=5,

∴ AC⊥BC,                                     …………2分

又 AC⊥C1 C,

∴ AC⊥平面BCC1;         

  ∴ AC⊥BC1        …………4分

(2)…………8分

(3)解法一:取中点,过,连接

中点,

平面,又

  ,又

平面   

是二面角的平面角…………10分

AC=3,BC=4,AA1=4,

    ∴ ,  

     ∴二面角的余弦值为 …………14分

解法二:以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系,

AC=3,BC=4,AA1=4,

, 

平面的法向量,  

 设平面的法向量

的夹角的补角的大小就是二面角的大小

则由解得 …12分

,………13分

∴二面角的余弦值为          …………14分

 

【解析】略

 

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3
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π
4
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π
4
+x)

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2
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