Question

【题目】为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如右图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在[16，17）内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数（精确到0.01秒）；
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：设前3组的频率依次为3x，8x，19x，则由题意可得：3x+8+19x=1﹣0.32﹣0.08=0.6，

由此得：x=0.02，

∴第二组的频率为0.16，

∵第二组的频数为8，

∴抽取的学生总人数为 人，

由此可估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数=0.32×50=16人，

设所求中位数为m，由前可知第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06、016、0.38

则0.06+0.16+0.38（m﹣15）=0.5，

解得m=15.74

所以估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数为16人；所有抽取学生的百米成绩的中位数为15.74秒

（2）解：记“两个成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A．

由（1）可知从第一组抽取的人数=0.02×3×50=3人，不妨记为a，b．c

从第五组抽取的人数=0.08×50=4人，不妨记为1，2，3，4，

则从第一、五组中随机取出两个成绩有：ab，ac．a1，a2，a3，a4，bc，b1，b2，b3，b3，c1，c2，c3，

c4，12，13，14，23，24，34这21种可能；

其中两个成绩的差的绝对值大于1秒的来自不同的组，共有12种．

∴

∴两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为

【解析】（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值，继而求出相应小组的人数，再设中位数为m，列出关于m的方程解得即可；（2）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果
【考点精析】掌握频率分布直方图是解答本题的根本，需要知道频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．