Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ-sinθ）=6．
（I）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值；
（Ⅱ）过点M（-1，0）且与直线l平行的直线l₁交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （I）化极坐标方程为 普通方程，设出P的坐标，利用点到直线的距离公式求出距离，利用三角函数的最值求出此最大值；
（Ⅱ）求出椭圆的参数方程，利用此时的几何意义，求解点M到A，B两点的距离之积．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）直线l：ρ（cosθ-sinθ）=6化成普通方程为x-y-6=0．
设点P的坐标为（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），则点P到直线l的距离为：
$d=\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（\frac{π}{3}-α）-6|}{\sqrt{2}}$，
∴当$sin（\frac{π}{3}-α）$=-1时，点P（-$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$），
此时${d}_{max}=\frac{|-2-6|}{\sqrt{2}}$=$4\sqrt{2}$．…（5分）
（Ⅱ）曲线C化成普通方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，即x²+3y²=3，
l₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入x²+3y²=3化简得${2t}^{2}-\sqrt{2}t-2=0$，
得t₁t₂=-1，所以点M到A，B两点的距离之积：1．…（10分）

点评 本题考查直线与椭圆的参数方程以及极坐标方程的应用，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．