分析 以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,利用向量法能求出AD与平面PAC所成的角的正弦值.
解答 解:如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,
以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,
设PA=a,由已知可得$A(0,0,0),B(-\frac{a}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2}a,0)$,
$C(0,\frac{{\sqrt{3}}}{2}a,0),P(0,0,a)$,$D(-\frac{a}{4},\frac{{\sqrt{3}a}}{4},\frac{a}{2})$
$\overrightarrow{AP}=(0,0,a)$,$\overrightarrow{BC}$=($\frac{a}{2}$,0,0),
∵$\overrightarrow{AP}=(0,0,a),\overrightarrow{BC}=(\frac{a}{2},0,0)$,∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AP}=0$,∴BC⊥AP.
又∵∠BCA=90°,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
∴平面PAC的一个法向量$\overrightarrow{BC}=(\frac{a}{2},0,0)$,
设AD与平面PAC所成的角为α,∴$sinα=|{cos<\overrightarrow{AD,}\overrightarrow{BC}>}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$.
点评 本题考查直线与平面所成角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {2,3} | B. | {0,1,2} | C. | {1,2,3} | D. | {0,1} |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 7π | B. | 19π | C. | $\frac{{7\sqrt{7}}}{6}π$ | D. | $\frac{{19\sqrt{19}}}{6}π$ |
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