Question

设A、B是椭圆3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（2）求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程．

Answer 1

解：（1）依题意，显然直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，
代入 椭圆3x²+y²=λ，整理得 （k²+3 ） x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0 ①
设 A （ x₁，y₁ ），B （x₂，y₂ ），则 x₁，x₂ 是方程①的两个不同的根，
∴△=4k² （k-3）²-4 （k²+3 ）[（k-3）²-λ]＞0 ②，且 x₁+x₂=．
由N（1，3）是线段AB的中点，得 =1，∴k（k-3）=k²+3，∴k=-1．
代和②得 λ＞12，即 λ 的取值范围是（12，+∞），于是直线AB的方程为 y-3=-（x-1），
即 x+y-4=0．
（2）∵CD垂直平分线段AB，∴直线CD的方程为 y-3=x-1，即 x-y+2=0，
代入椭圆方程，整理得 4x²+4x+4-λ=0 ③．
设 C（x₃，y₃ ），D （x₄，y₄ ），CD的中点为 M（x₀，y₀ ），则 x₃，x₄ 是方程③的两根，
∴x₃+x₄=-1，∴x₀==-，y₀=x₀+1=，即 M（-， ）．
又 M（-， ）到直线AB的距离 d==，
故所求圆的方程为 ．
分析：（1）可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，代入 椭圆3x²+y²=λ，可得 x₁+x₂=，再由线段的中点公式求出 k=1，于是求得直线AB的方程．
（2）用点斜式求得直线CD的方程为 x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得 4x²+4x+4-λ=0 ③，利用根与系数的关系和中点公式求得 M（-， ），再求得M（-， ）到直线AB的距离 d，即可得到圆的标准方程．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式的应用，求出点M的坐标是解题的难点．