Question

【题目】已知各项为正数的数列满足：且．

（1）证明：数列为等差数列．

（2）若，证明：对一切正整数n，都有

Answer 1

【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列为等差数列.

（2）根据数列为等差数列，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令.由求得的取值范围，即可表示出，由不等式性质进行放缩，求得后，即可证明不等式成立.

（1）证明：各项为正数的数列满足：

则，，

同取倒数可得，

所以，

由等差数列定义可知数列为等差数列．

（2）证明： 由（1）可知数列为等差数列．，

则数列是以为首项，以为公差的等差数列.

则，

令，

因为，

所以，

则，

所以，

所以

，

所以

由不等式性质可知，若，则总成立，

因而，

所以

所以

不等式得证.