Question

设O为坐标原点，给定一个点A（4，3），而点B（x，0）在x轴的正半轴上移动，l（x）表示线段AB的长，则△OAB中两边长的比值

x

l(x)

的最大值为

 

．

Answer 1

分析：在三角形AOB中，利用正弦定理即可表示出两条边的比值

x

l(x)

，然后根据三角函数的定义求出sin∠AOB的值，两边的比值最大即sinA等于1，利用sinA等于1和求出的sin∠AOB的值即可得到比值的最大值．

解答：解：在△AOB中，由正弦定理得：

|AB|

sin∠AOB

=

|OB|

sinA

即

x

l(x)

=

sinA

sin∠AOB

，且sin∠AOB=

3

32+42

=

3

5

，
因为A为定点，得到∠AOB不变，
所以当sinA=1时，△OAB中两边长的比值

x

l(x)

取最大，最大值为

1

3 5

=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握三角函数的定义及正弦函数的值域，是一道综合题．