【题目】已知椭圆的离心率为,,,,的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点作与轴不重合的直线交椭圆于,两点,连接,分别交直线于,,两点,若直线,的斜率分别为,,试问:是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)为定值,理由见解析
【解析】
(1)结合椭圆离心率、的面积、列方程组,解方程组求得,由此求得椭圆的标准方程.
(2)当直线斜率不存在时,求得两点的坐标,由此求得直线的方程,进而求得两点的坐标,由此求得,,求得.当直线斜率存在时,设直线方程为,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,求得直线的方程,进而求得两点的坐标,由此求得,,结合韦达定理计算.由此证得为定值.
(1)由题意得,
解得,
所以椭圆的方程为.
(2)由(1)知,,
①当直线斜率不存在时,直线方程为,
联立,得,
不防设,,
则直线方程为,
令,得,则,
此时,,
同理,
所以,
②当直线斜率存在时,设直线方程为,
联立,得,
设,,
则,,
直线方程为,
令,得,则,
同理,
所以,,
所以
综上所述,为定值.
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【题目】已如椭圆,四点中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不经过左焦点的直线交椭圆于A,B两点,若直线、、的斜率依次成等差数列,求直线l的斜率k的取值范围.
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【题目】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2,AB=1,E为AD中点,F为CC1中点.
(1)求证:AD⊥D1F;
(2)求证:CE//平面AD1F;
(3)求AA1与平面AD1F成角的余弦值.
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【题目】某手机厂商在销售某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”,保费为元,若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕,为了合理确定保费的值,该手机厂商进行了问卷调查,统计后得到下表(其中表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例):
(1)根据上面的数据计算得,求出关于的线性回归方程;
(2)若愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例超过,则手机厂商可以获利,现从表格中的种保费任取种,求这种保费至少有一种能使厂商获利的概率.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为,
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【题目】某初级中学共有学生2000名,各年级男生女生人数如表: 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率是0.19.
初一年级 | 初二年级 | 初三年级 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
(1)求x的值.
(2)现用分层抽样法在全校抽取48名学生,问应在初三年级学生中抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求初三年级女生比男生多的概率.
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【题目】在某地区2008年至2014年中,每年的居民人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
对变量t与y进行相关性检验,得知t与y之间具有线性相关关系.
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)预测该地区2016年的居民人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
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【题目】已知椭圆()的左、右焦点分别是,,点为的上顶点,点在上,,且.
(1)求的方程;
(2)已知过原点的直线与椭圆交于,两点,垂直于的直线过且与椭圆交于,两点,若,求.
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