Question

在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（1）求角B的大小；
（2）求2sin²A+cos（A-C）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理、等差数列的定义和性质以及诱导公式可得cosB=

1

2

，由此求得角B的大小．
（2）三角函数的恒等变换把要求的式子化为1-

3

cos(2A+

π

6

)，根据角A的范围，求出1-

3

cos(2A+

π

6

)的
范围．

解答：解、（1）∵2bcosB=acosC+ccosA，∴2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC．（2分）
∴2sinBcosB=sin（A+C），又∵A+C=π-B0＜B＜π，
∴cosB=

1

2

，即  B=

π

3

．（4分）
（2）由（1）得：C=

2π

3

-A，B=

π

3

，△ABC为锐角三角形，
则A+B＞

π

2

，∴

π

6

＜A＜

π

2

．（6分）
2sin2A+cos(A-C)=1-cos2A+cos(2A-

2π

3

)=1-

3

cos(2A+

π

6

)．（8分）
∵

π

2

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，
∴1＜1-

3

cos(2A+

π

6

)≤1+

3

，
即2sin²A+cos（A-C）∈(1， 1+

3

]．（12分）

点评：本题主要考查正弦定理可得以及诱导公式，三角函数的恒等变换及化简求值，等差数列的定义和性质，属于中档题．