Question

【题目】如图，三棱柱中， 平面， ，点是中点.

（1）求证： ；

（2）若， ， ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析. （2）.

【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形易得，由线面垂直可得，由线面垂直判定定理可得平面，故而可得结论；（2）以， 为轴建立如图所示空间直角坐标系，分别求出面的一个法向量，面的一个法向量，求出向量夹角即可得结论.

试题解析：（1）证明：∵， 是中点，∴，

∵平面，平面平面，∴平面，

又平面，∴，

∵， ， 平面，

∴平面，

∵平面，∴.

（2）解：取中点，连，

以， 为轴建立如图所示空间直角坐标系，

由， ， ，知， ，

∴， ，

又，∴， ， ， ，

， ，

设平面的一个法向量为，

则，取得，

同理，得平面的一个法向量，

∴，

∴二面角的余弦值为.