Question

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：

已知表中的第一列数a₁，a₂，a₅…构成一个等差数列，记为{b_n}，且b₂=4，b₅=10。表中每一行正中间一个数a₁，a₃，a₇…构成数列{c_n}，其前n项和为S_n，
(1)求数列{b_n}的通项公式；
(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a₁₃=1，
①求S_n；
②记M={n|(n+1)c_n≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围。

Answer 1

解：(1)设数列{b_n}的公差为d，则，解得，
所以b_n=2n。
(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q，
由于前n行共有1+3+5+…+(2n-1)=n²个数，且3²＜13＜4²，
所以a₁₀=b₄=8，所以a₁₃=a₁₀q³=8q³，
又a₁₃=1，解得，
因此，
所以，，
，
因此，
解得；
②由①知，，
不等式(n+1)c_n≥λ，可化为，
设，
计算得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5，，
因为，
所以当n≥3时，f(n+1)＜f(n)，
因为集合M元素的个数为3，
所以λ的取值范围是(4，5]。