Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．
（Ⅰ）证明：BD⊥AE；
（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得BD=2

2

，EA⊥ED，EA=ED=2，AD=2

2

，由勾股定理得BD⊥AD，从而BD⊥平面AED，由此能证明BD⊥AE．
（Ⅱ）取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，取AB的中点F，连结OF，则OF∥BD，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面CDE的法向量和平面CDE的一个法向量，由此能求出平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵BC⊥CD，BC=CD=2，∴BD=2

2

，
同理EA⊥ED，EA=ED=2，∴AD=2

2

，
又∵AB=4，∴由勾股定理得BD⊥AD，
又∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面AED，又∵AE?平面ADE，
∴BD⊥AE．
（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，
∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，
∴OE⊥平面ABCD，
取AB的中点F，连结OF，则OF∥BD，
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则D（-

2

，0，0），C（-2

2

，

2

，0），E（0，0，

2

），

DC

=（-

2

，

2

，0），

DE

=（

2

，0，

2

），
设平面CDE的法向量为

n

=（x，y，z），
则

DC • n1 =x+z=0 DE • n2 =-x+y=0

，取x=1，得平面CDE的一个法向量为

n1

=（1，1，-1），
又平面ADE的一个法向量为

n2

=（0，1，0），
设平面ADE和平面CDE所成角（锐角）为θ，
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

3

3

，
∴平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．