Question

3．设函数f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤4π），则函数f（x）的所有极大值之和为（　　）

• A． e^4π
• B． e^π+e^2π
• C． e^π-e^3π
• D． e^π+e^3π

Answer 1

分析 先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π，即可求函数f（x）的各极大值之和．

解答 解：∵函数f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=e^x（sinx-cosx）递减，
故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，
其极大值为f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π×（0-（-1））
=e^2kπ+π，
又0≤x≤4π，
∴函数f（x）的各极大值之和S=e^π+e^3π．
故选：D．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和．利用导数求得当x=2kπ+π时，f（x）取极大值是解题的关键，利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．