Question

设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足|ka+b|=3|a-kb|(k为正实数).

(1)求证:(a+b)⊥(a-b);

(2)设a与b的数量积表示为关于k的函数f(k),求f(k);

(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a与b的夹角.

Answer 1

活动:本题是一道向量应用的经典例题,难度不大但综合性较强,体现平面向量与函数、与三角函数的交汇,是近几年高考的热点问题.解决这类问题必须熟知平面向量的概念、运算性质、定理、公式等基础知识.教师可以充分让学生自己去探究解决.对感到困难的学生,教师引导其回忆相关的知识,并适时地点拨学生注意条件的转化及解答的规范.

(1)证明:|a|==1,|b|==1,

∵(a+b)·(a-b)=|a|²-|b|²=0,∴(a+b)⊥(a-b).

(2)解:由|ka+b|=3|a-kb|,得(ka+b)²=3(a-kb)²,

化简,得a·b=,故f(k)= (k＞0).

(3)解:由y=(y＞0),得k²-4ky+1=0.

∵k＞0,方程有解,∴Δ=16y²-4≥0,

解得y≥,即k=1时,f(k)取最小值为.

这时,设a与b的夹角为θ,则cosθ==.

又0≤θ≤π,∴a与b的夹角为.

点评:解决本题,我们首先要根据题意画出图形,借助对图形的观察,实现实际问题向数学问题的转化.转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法.以向量为工具,通过转化,可以为函数中的许多问题提供新颖、简捷的解法,请同学们注意体会.