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5.设f(x)=|x-3|+|x-4|.
(1)解不等式f(x)≤2;
(2)已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a(a>0),且x+y+z的最大值是1,求a的值.

分析 (1)利用绝对值的意义,分类讨论,即可解不等式f(x)≤2;
(2)由柯西不等式:[($\sqrt{2}$x)2+($\sqrt{3}$y)2+($\sqrt{6}$z)2][($\frac{1}{\sqrt{2}}$)2+($\frac{1}{\sqrt{3}}$)2+($\frac{1}{\sqrt{6}}$)2]≥(x+y+z)2,可得出a≥(x+y+z)2,从而可根据最大值为1,建立关于a的方程解出a值即可.

解答 解:(1)x<3时,不等式化为-x+3-x+4≤2,∴x≥2.5,∴2.5≤x<3;
3≤x≤4时,不等式化为x-3-x+4≤2,成立;
x>4时,不等式化为x-3+x-4≤2,∴x≤4.5,∴4<x≤4.5;
综上所述,不等式的解集为{x|2.5≤x≤4.5};
(2)由柯西不等式:[($\sqrt{2}$x)2+($\sqrt{3}$y)2+($\sqrt{6}$z)2][($\frac{1}{\sqrt{2}}$)2+($\frac{1}{\sqrt{3}}$)2+($\frac{1}{\sqrt{6}}$)2]≥(x+y+z)2
因为2x2+3y2+6z2=a(a>0),所以a≥(x+y+z)2
因为x+y+z的最大值是1,所以a=1,
当2x=3y=6z时,x+y+z取最大值,所以a=1.

点评 本小题主要考查柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,对于柯西不等式的构造是题目的关键,需要同学们灵活应用.

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