Question

3．已知定义在区间（-1，1）上的函数$f（x）=\frac{ax-b}{{{x^2}+1}}$是奇函数，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，
（1）确定y=f（x）的解析式；
（2）判断y=f（x）的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质，和函数值，即可求出函数的解析式；
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）y=f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∵$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
又x₁²，+1＞0，x₂²+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在（-1，1）上单调递增．

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及奇函数的性质，利用函数单调性的定义是解决此类问题的基本方法．