Question

直三棱柱ABC-A₁B₁ C₁的六个顶点都在球O的球面上．若AB=BC=2，∠ABC=90°，AA₁=2

2

，则球O的表面积为（　　）

A．4π

B．8π

C．24π

D．16π

Answer 1

分析：根据题意，可得AB、BC、BB₁两两互相垂直．因此直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球，就是以AB、BC、BB₁为长、宽、高的长方体的外接球，根据长方体的对角线公式算出球的直径，再利用球的表面积公式加以计算，可得球O的表面积．

解答：解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
∴AB、BC、BB₁两两互相垂直．
因此，以AB、BC、BB₁为长、宽、高作长方体，
该长方体的外接球经过直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点．
∵长方体的对角线长等于

AB2+BC2+BB12

=

22+22+(2 2 )2

=4．
∴长方体的外接球直径2R=4，得R=2．
由此可得外接球的表面积为S=4πR²=16π．
故选：D

点评：本题给出特殊的三棱柱，求它的外接球的表面积．着重考查了直三棱柱的性质、长方体的对角线公式和球的表面积计算等知识，属于中档题．