Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=7，a₂为整数，当且仅当n=4时S_n取得最大值．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（9-a_n）•2ⁿ⁺¹，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由当且仅当n=4时S_n取得最大值，可得a₄＞0，a₅＜0．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵当且仅当n=4时S_n取得最大值，
∴a₄＞0，a₅＜0．
∴

7+3d＞0 7+4d＜0

，解得-

7

3

＜d＜-

7

4

．
又a₂为整数，∴7+d为整数，
∴d为整数，∴d=-2．
故a_n=7-2（n-1）=9-2n．
（2）b_n=（9-a_n）•2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2×(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)×2n+1+2．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．