Question

一条斜率为1的直线l与离心率e=

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且

.

OP

•

.

OQ

=-3，

.

PR

=3

.

RQ

，求直线l和椭圆C的方程．

Answer 1

分析：由e=

2

2

，知

c

a

=

2

2

，a²=2b²，则椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，设l方程为：y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立

x2 2b2 + y2 b2 =1 y=x+m

，得3x²+4mx+2m²-2b²=0，故有△=16m²-4×3（2m²-2b²）=8（-m²+3b²）＞0．由此入手能求出直线l方程和椭圆C的方程．

解答：解：∵e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，a²=2b²，则椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
设l方程为：y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立

x2 2b2 + y2 b2 =1 y=x+m

，去y得3x²+4mx+2m²-2b²=0，
故有△=16m²-4×3（2m²-2b²）=8（-m²+3b²）＞0
∴3b²＞m²（*）
x₁+x₂=-

4

3

m（1）
x₁x₂=

2

3

（m²-b²）（2）
又

OP

•

OQ

=-3得x₁x₂+y₁y₂=-3，
而y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=-3，
故

4

3

（m²-b²）-

4

3

m²+m²=-3，∴3m²-4b²=-9（3）
又R（0，m），

PR

=3

RQ

，（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m）
从而-x₁=3x₂（4）
由（1）（2）（4）得3m²=b²（5）
由（3）（5）解得b²=3，m=±1适合（*），
∴所求直线l方程为y=x+1或y=x-1；椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

3

=1．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系的综合运用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．