Question

（本小题满分14分）设函数的定义域是R，对于任意实数，恒有，且当 时，．

（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求证：，且当时，有；

（Ⅲ）判断在R上的单调性，并加以证明.

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）令m=n=1得f(2)=f(1)f(1)=，               2分

∴．                                            4分

（Ⅱ），

令，则，且当时，，

∴；                                                    6分

设，，

∴，∴．                         9分

（Ⅲ）在R上任取x₁，x₂，使得，

则，∴，

∴

∵当x>0时，0<f(x)<1；当x=0时，f(x)=1>0；当x<0时，f(x) >1

∴对任意x∈R，有f(x) >0，∴f(x₁)>0

∵0<f(x₂-x₁)<1  ∴f(x₂-x₁)-1<0

∴f(x₂)-f(x₁)<0，即f(x₁)>f(x₂)

∴在R上是单调递减．                                    14分

 

【解析】略