Question

如图，已知直线l与顶点在原点O，焦点在y轴的正半轴上的抛物线C相交于A，B两点，且OA⊥OB，垂足D的坐标为（1，2）．
（1）求直线l的方程；
（2）求抛物线C的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意OD⊥AB且D的坐标为（1，2），求出OD的斜率，由两条直线垂直的条件求出直线l的斜率，代入点斜式方程再化为一般式方程；
（2）由题意设抛物线的方程是x²=2py（p＞0）和点A、B的坐标，联立直线l的方程消去y，利用韦达定理求出x₁+x₂和x₁x₂，由OA⊥OB得

OA

•

OB

=0，利用向量的数量积运算化简，列出关于p的方程求解即可．

解答： 解：（1）由题意得，OD⊥AB，且D的坐标为（1，2），
则OD的斜率是2，所以直线l的斜率是-

1

2

，
所以直线l的方程是y-2=-

1

2

(x-1)，即x+2y-5=0；
（2）设抛物线的方程是x²=2py（p＞0），且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x+2y-5=0 x2=2py

得，x²+px-5p=0，
则△=p²+20p＞0，且x₁+x₂=-p，x₁x₂=-5p，
因为OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，
则x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+

x12x22

4p2

=0，
所以-5p+

25p2

4p2

=0，解得p=

5

4

，
所以抛物线的方程是x²=

5

2

y．

点评：本题考查直线、抛物线的方程，垂直问题转化为两条直线垂直的条件、向量的数量积问题，以及韦达定理的应用，直线与圆锥曲线的关系．