Question

11．已知数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列，求T_n；
（3）求数列{a_n•b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：a_n=2S_n-1+1（n≥2），所以a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），又因为a₂=3a₁，故{a_n}是等比数列，进而得到答案．
（2）根据题意可得b₂=5，故可设b₁=5-d，b₃=5+d，所以结合题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，进而求出公差得到等差数列的前n项和为T_n；
（3）求出数列{a_n•b_n}的通项，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求前n项和．

解答 解：（1）因为a_n+1=2S_n+1，…①
所以a_n=2S_n-1+1（n≥2），…②
所以①②两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又因为a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列
∴a_n=3^n-1．
（2）设{b_n}的公差为d，
由T₃=15得，可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可设b₁=5-d，b₃=5+d，
又因为a₁=1，a₂=3，a₃=9，并且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
所以可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
解得d₁=2，d₂=-10，
∵等差数列{b_n}的各项为正，
∴d＞0，∴d=2，b₁=3，
∴T_n=3n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•2=n²+2n；
（3）a_n•b_n=（2n+1）•3^n-1．
前n项和R_n=3•1+5•3+7•3²+…+（2n+1）•3^n-1，
3R_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n+1）•3ⁿ．
两式相减可得，-2R_n=3+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ
=3+2•$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n+1）•3ⁿ．
化简可得前n项和为R_n=n•3ⁿ．

点评 本题主要考查求数列通项公式和求和的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和，属于中档题．