Question

16．已知点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{2x-y-2≤0}\\{2x-1≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域上运动，则z=$\frac{x+y+2}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [1，$\frac{5}{3}$]
• B． [0，1]
• C． [1，$\frac{8}{3}$]
• D． [0，$\frac{5}{3}$]

Answer 1

分析 根据已知的约束条件，画出可行域，分别求出各角点的坐标，分析目标z=$\frac{x+y+2}{x+1}$函数的几何意义，将最优解代入得到目标函数的最值，进而可得取值范围．

解答 解：不等式组表示的平面区域如下图所示：

∵动点P（x，y）在可行域运动，
z=$\frac{x+y+2}{x+1}$=1+$\frac{y+1}{x+1}$，
表示（x，y）点与（-1，-1）点连线的斜率再加1，
故当P与C重合时，z取最小值1+0=1，
当P与B重合时，z取最大值1+$\frac{5}{3}$=$\frac{8}{3}$，
故z的取值范围是[1，$\frac{8}{3}$]，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中角点法是解答此类问题最常用的办法，一定要熟练掌握．