Question

设函数f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈（0，4）时y=g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，得到g（x）=f（2-x），确定出g（x）解析式，根据x的范围，利用余弦函数的值域即可确定出g（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin

πx

4

-

1

2

cos

πx

4

-cos

πx

4

=

3

2

sin

πx

4

-

3

2

cos

πx

4

=

3

（

1

2

sin

πx

4

-

3

2

cos

πx

4

）=

3

sin（

πx

4

-

π

3

），
∵ω=

π

4

，∴T=8；
（2）∵函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴g（x）=f（2-x）=

3

sin[

π

4

（2-x）-

π

3

]=

3

cos（

πx

4

+

π

3

），
∵x∈（0，4），∴

πx

4

+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
∴-1＜cos（

πx

4

+

π

3

）＜

1

2

，即-

3

＜

3

cos（

πx

4

+

π

3

）＜

3

2

，
则y=g（x）的值域为（-

3

，

3

2

）．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．