Question

如图．在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥，且AB=2，P∈平面CC₁D₁D，PD=PC=AD=

2

．
（1）求证：PD⊥平面PBC；
（2）若AA₁=a，当a为何值时，PC∥平面AB₁D；
（3）在（2）的前提下，若点P，A，D，C₁在同一球面上，求此球面的面积．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定，证明PD⊥BC，PD⊥PC，即可证得结论；
（2）当a=2时，四边形CC₁D₁D是一个正方形，可得PC∥DC₁，从而可知PC∥平面AB₁D；
（3）证明PD，PA，PC₁两两垂直，点P，A，D，C₁所在的球面就是以PD，DC₁，AD为相邻三条棱的长方体的外接球面，求出球面的半径，即可求球面的面积．

解答：（1）证明：因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，所以BC⊥平面CC₁D₁D，
而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?平面CC₁D₁D，则PD⊥BC．
因为PD=PC=

2

，AB=2，所以△PCD为等腰直角三角形，则PD⊥PC．
因为PC∩BC=C，所以PD⊥平面PBC．
（2）解：当a=2时，四边形CC₁D₁D是一个正方形，所以∠CDC₁=45°，
因为∠PCD=45°，PC和C₁D在同一个平面内，所以PC∥DC₁，
因为DC₁?平面AB₁D，PC?平面AB₁D，所以PC∥平面AB₁D．
（3）解：因为AD⊥平面CC₁D₁D，PD，DC₁在平面CC₁D₁D内，所以AD⊥PD，AD⊥DC₁，
由（2）知∠PDC₁=90°，即PD⊥DC₁，可知PD，PA，PC₁两两垂直，点P，A，D，C₁所在的球面就是以PD，DC₁，AD为相邻三条棱的长方体的外接球面，
因为PD=AD=

2

，DC1=2

2

，从而此球面的直径2R=2

3

，所以球面的半径R=

3

，
则所求球面的面积为4πR2=4π(

3

)2=12π．

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查球面面积的计算，掌握线面垂直、线面平行的判定，正确计算球的半径是关键．