Question

【题目】如图 ，在棱长为 a 的正方体ABCD-A1 B1C1 D1 中，E 、F 分别 是棱 AB 与BC 的中点.

（1）求二 面角 B-FB1-E 的大小；

（2）求点 D 到平面B1EF 的距离；

（3）在棱 DD1 上能否找到一点 M， 使 BM ⊥平面EFB1 ? 若能， 试确定点 M 的位置；若不能， 请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) a. (3) M为DD1的中心

【解析】

（1）如图 ，作BH ⊥B1 F ，垂足为H ， 连结 EH .

由正方体性质知EB ⊥面BB1 F，则 BH是EH 在面BB1 F内的射影.

由三垂线定理可知，EH⊥B1 F .

从而，∠EHB是二面角E-B1 F-B 的平面角.

在Rt△EBH中，由，知.

故，即二面角B-B1F-E的大小为.

（2）因为公共边，

故.

设点 D 到面B1EF 的距离为h .

由，得.

故，即点 D 到面B1EF 的距离为a.

（3）设 EF与BD 交于G ， 连 B1G.

因 为 EF ⊥ BD ， EF ⊥ BB1 ， 所 以 EF ⊥面 BB1D1D ， 面 B1 EF ⊥面 BB1D1D .

在面 BB1 D1D 内作 BK ⊥B1G 于 K ， 延长后交DD1于 M.

由两平面垂直的性质定理知 BM ⊥面 B1EF ， 即在 DD1上存在适合条件的点 M .

在平面 BB1D1D 中， 因△B1BG ∽△BDM ， 故.

又，故，M为DD1的中心.