Question

先解答（1），再通过类比解答（2）：
（1）①求证：tan(x+

π

4

)=

1+tanx

1-tanx

；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；
（2）设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=

1+f(x)

1-f(x)

，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是类比推理，在由正切函数的周期性类比推理抽象函数的周期性时，我们常用的思路是：由正切函数的周期性，类比推理抽象函数的周期性；由正切函数的周期性的证明方法，类比推理抽象函数的周期性的证明方法．

解答：解：（1）①证明：tan(x+

π

4

)=

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=

1+tanx

1-tanx

．
②假设T是函数f（x）=tanx的一个周期，且0＜T＜π，
则对任意x≠

π

2

+kπ，k∈Z，有tan（x+T）=tanx，令x=0得tanT=0，
而当0＜T＜π时，tanT≠0恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
（2）由（1）可类比出函数f（x）是周期函数，它的最小正周期是4a．
证明：因为f(x+2a)=f(x+a+a)=

1+f(x+a)

1-f(x+a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-

1

f(x+2a)

=-

1

- 1 f(x)

=f(x)．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明，我们在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例．