Question

设椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2

21

，左焦点到左准线的距离为3

7

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C上有不同两点P、Q，且OP⊥OQ，过P、Q的直线为l，求点O到直线l的距离．

Answer 1

分析：设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），b=

21

．由-c-（

-a2

c

）=3

7

，得c=

7

．由此能求出椭圆C的方程．
（2）若直线l的斜率不存在，设l与x正半轴交于点M，将x=y代入

x2

28

+

y2

21

=1中，得到点P（2

3

，2

3

），Q（2

3

，-2

3

），于是点O到l的距离为2

3

．若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m（k，m∈R），则点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐标是方程组

y=kx+m x2 28 + y2 21 =1

的两个实数解，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答：解：设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则2b=2

21

，b=

21

．
由-c-（

-a2

c

）=3

7

，即

a2-c2

c

=

b2

c

=3

7

，得c=

7

．
于是a²=b²+c²=21+7=28，椭圆C的方程为

x2

28

+

y2

21

=1．（5分）
（2）若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，不妨设l与x正半轴交于点M，将x=y代入

x2

28

+

y2

21

=1中，得x=y=±2

3

，则点P（2

3

，2

3

），Q（2

3

，-2

3

），于是点O到l的距离为2

3

．（7分）
若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m（k，m∈R），则点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐标是方程组

y=kx+m x2 28 + y2 21 =1

的两个实数解，
消去y，整理，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-84=0，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-84）=12（28k²-m²+21）＞0，①
x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁•x₂=

4m2-84

3+4k2

．②（9分）
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1，即

y1

x1

•

y2

x2

=-1，x₁x₂+y₁y₂=0．
于是x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．③
将x₁+x₂，x₁x₂代入上式，得（1+k²）•

4m2-84

3+4k2

-km

8km

3+4k2

+m²=0，
∴（k²+1）（4m²-84）-8k²m²+m²（4k²+3）=0，
化简，得m²=12（k²+1）．④
④代入①满足，因此原点O到直线l的距离d=

|-m|

k2+1

=

12

=2

3

．（12分）

点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选用公式．