Question

16．设函数f（x）=-4x+b，且不等式|f（x）|＜c的解集为{x|-1＜x＜2}．
（1）求b的值；
（2）解关于x的不等式（x+m）•f（x）＞0（m∈R）．

Answer 1

分析 （1）解绝对值不等式|f（x）|＜c，结合不等式|f（x）|＜c的解集为{x|-1＜x＜2}．我们可以构造关于b，c的方程组，解方程组即可得到b的值；
（2）由于不等式中含有参数m，故我们要对参数m进行分类讨论，分m=-$\frac{1}{2}$，m＞-$\frac{1}{2}$，m＜-$\frac{1}{2}$三种情况进行讨论，最后综合讨论结果即可得到答案

解答 解：（1）∵f（x）=-4x+b
∴|f（x）|＜c的解集为{x|$\frac{1}{4}$（b-c）＜x＜$\frac{1}{4}$（b+c）}
又∵不等式|f（x）|＜c的解集为{x|-1＜x＜2}．
∴$\frac{1}{4}$（b-c）=-1，$\frac{1}{4}$（b+c）=2
解得：b=2；
（2）由（1）得f（x）=-4x+2，
∵（x+m）•f（x）＞0，化为（x+m）（x-$\frac{1}{2}$）＜0，
当m=-$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为空集，
当m＞-$\frac{1}{2}$时，解集为（-m，$\frac{1}{2}$），
当m＜-$\frac{1}{2}$时，解集为（$\frac{1}{2}$，-m）

点评 本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，一元二次不等式的应用，其中（1）的关键是解绝对值不等式并根据已知构造关于b，c的方程组，（2）的关键是对参数m分m=-$\frac{1}{2}$，m＞-$\frac{1}{2}$，m＜-$\frac{1}{2}$三种情况进行讨论．