Question

13．椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，右焦点为F，过F作直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）已知$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1（O为原点），求直线l的方程．
（2）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围，且写出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取最大值和最小值时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的右焦点，设直线AB的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，解方程即可得到所求直线的方程；
（2）由（1）可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（1+m²）（-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$）+m（-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$）+1=$\frac{1-2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，运用换元法，令2+m²=t（t≥2），可得m²=t-2，运用函数的单调性可得最值，注意讨论直线的斜率为0，即可得到所求范围；进而得到所求直线的方程．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，右焦点为F（1，0），
设直线AB的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线和椭圆方程，可得（2+m²）y²+2my-1=0，
即有y₁+y₂=-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=（1+m²）（-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$）+m（-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$）+1=-1，
解得m=±$\sqrt{3}$，
即有直线l的方程为x=±$\sqrt{3}$y+1；
（2）由（1）可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（1+m²）（-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$）+m（-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$）+1
=$\frac{1-2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，
由2+m²=t（t≥2），可得m²=t-2，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{5-2t}{t}$=$\frac{5}{t}$-2，
由t≥2，可得0＜$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{2}$，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$∈（-2，$\frac{1}{2}$]，
又当直线的斜率为0时，A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），
可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-2，
综上可得，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的范围是[-2，$\frac{1}{2}$]；
则当直线的斜率为0，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最小值-2时，
即有直线方程为y=0；
当直线的斜率不存在，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最大值$\frac{1}{2}$时，
即有直线方程为x=1．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示，以及函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．