Question

15．已知函数f（x）=e^x，x∈R
（Ⅰ）若直线y=kx与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值
（Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，A=f（$\frac{a+b}{2}$），B=$\frac{f（a）+f（b）}{2}$，C=$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$，试比较A，B，C三者的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）不妨设a＞b，则A-B=-$\frac{（{e}^{\frac{a}{2}}-{e}^{\frac{b}{2}}）^{2}}{2}$＜0，可得A＜B．而A-C=${e}^{\frac{a+b}{2}}$-$\frac{{e}^{a}-{e}^{b}}{a-b}$=$\frac{{e}^{\frac{a+b}{2}}（a-b-{e}^{\frac{a-b}{2}}+{e}^{\frac{b-a}{2}}）}{a-b}$，令m（x）=2x-e^x+e^-x（x＞0），利用导数研究其单调性即可得出A＜C．同理可得B与C的大小关系．

解答 解：（1）f（x）的反函数为y=lnx，
${y}^{′}=\frac{1}{x}$．
设切点为（x₀，lnx₀），则切线斜率为k=$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
解得x₀=e，
∴k=$\frac{1}{e}$．
（2）不妨设a＞b，则A-B=${e}^{\frac{a+b}{2}}$-$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$=-$\frac{（{e}^{\frac{a}{2}}-{e}^{\frac{b}{2}}）^{2}}{2}$＜0，∴A＜B．
A-C=${e}^{\frac{a+b}{2}}$-$\frac{{e}^{a}-{e}^{b}}{a-b}$=$\frac{（a-b）{e}^{\frac{a+b}{2}}-（{e}^{a}-{e}^{b}）}{a-b}$=$\frac{{e}^{\frac{a+b}{2}}（a-b-{e}^{\frac{a-b}{2}}+{e}^{\frac{b-a}{2}}）}{a-b}$，
令m（x）=2x-e^x+e^-x（x＞0），则m′（x）=2-e^x-e^-x＜0，
∴m（x）在（0，+∞）上单减，
故m（x）＜m（0）=0，取x=$\frac{a-b}{2}$，
则a-b-${e}^{\frac{a-b}{2}}$+${e}^{\frac{b-a}{2}}$＜0，∴A＜C．
$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$＞$\frac{{e}^{a}-{e}^{b}}{a-b}$?$\frac{a-b}{2}$＞$\frac{{e}^{a}-{e}^{b}}{{e}^{a}+{e}^{b}}$=1-$\frac{2}{{e}^{a-b}+1}$，
令n（x）=$\frac{x}{2}$-1+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
则n′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{2{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=$\frac{（{e}^{x}-1）^{2}}{2（{e}^{x}+1）^{2}}$≥0，∴n（x）在（0，+∞）上单增，
故n（x）＞n（0）=0，取x=a-b，
则$\frac{a-b}{2}$-1+$\frac{2}{{e}^{a-b}+1}$＞0，
∴B＞C．
综合上述知，A＜C＜B．

点评 本题考查了“作差法”、构造函数比较两数的大小关系、利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．