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已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上,半径为5,圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为2
17

(1)求圆C的方程;
(2)设直线ax-y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得A,B关于过点P(-2,4)的直线l对称?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设⊙C的方程为(x-m)2+y2=25(m>0),由弦长公式求出m,即得圆C的方程.
(2) 由圆心到直线的距离等于半径,求得实数a的取值范围.
(3)设存在实数a,使得A,B关于l对称,则有
a•(-
4
3
)=-1
a<0或a>
5
12
,解出实数a的值,得出结论.
解答:解:(1)设⊙C的方程为(x-m)2+y2=25(m>0),由题意设
|m+3
2
=
25-17
m>0

解得 m=1.故⊙C的方程为(x-1)2+y2=25.
(2)由题设知 
|a+5|
a2+1
<5
,故12a2-5a>0,所以,a<0,或a>
5
12

故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(
5
12
,+∞)

(3)设存在实数a,使得A,B关于l对称.∴PC⊥AB,又 a<0,或a>
5
12

a•(-
4
3
)=-1
a<0或a>
5
12
,∴a=
3
4

∴存在实数a=
3
4
,满足题设.
点评:本题考查圆的标准方程以及直线和圆相交的性质,两直线垂直的性质,由存在实数a,使得A,B关于l对称得到
a•(-
4
3
)=-1
a<0或a>
5
12
 是解题的关键和难点.
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2

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2
π
4
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3

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π
4
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x=2+tcosα
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(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得A,B关于过点P(-2,4)的直线l对称?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.

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