Question

已知平面上的动点Q到定点F（0，1）的距离与它到定直线y=3的距离相等．
（1）求动点Q的轨迹C₁的方程；
（2）过点F作直线l₁交C₂：x²=4y于A，B两点（B在第一象限）．若|BF|=2|AF|，求直线l₁的方程．
（3）试问在曲线C₁上是否存在一点M，过点M作曲线C₁的切线l₂交抛物线C₂于D，E两点，使得DF⊥EF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出Q的坐标，根据条件推断出x和y的关系式，化简求得x和y的关系，即曲线的方程．
（2）设出A，B，利用抛物线的定义，表示出|AF|和|BF|，进而利用|BF|=2|AF|，求得y₂和y₁的关系，令直线AB的方程x=t（y-1），与抛物线方程联立消去x，表示出y₁+y₂和y₁y₂，联立求得y₁和y₂，代入方程②求得t，进而求得t．则直线AB的方程可得．
（3）设出M的坐标，对抛物线方程求导，进而求得切线l₂的斜率，表示出l₂的方程，同时利用m和n的关系式，表示出切线的方程与抛物线方程联立，设D，E的坐标，表示出x₁+x₂和x₁x₂，根据FD⊥FE，推断出x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0获得关于m的方程，求得m，进而通过m和n的关系式求得n．

解答：解：（1）设Q（x，y），
由条件有

x2+(y-1)2

=|y-3|，
化简得曲线C₁的方程为：x²=-4y+8．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
由|BF|=2|AF|，得y₂=2y₁+1①
令直线AB方程为x=t（y-1）
由

x=t(y-1) x2=4y

?t2y2-(2t2+4)y+t2=0，
则

y1+y2= 2t2+4 t2 ① y1•y2=1 ②

由①和③联立解得：y1=

1

2

，y2=2
代入②得：t²=8
依题意直线AB的斜率大于0，即t＞0，
所以t=2

2

故直线AB的方程为x-2

2

y+2

2

=0
（3）设M（m，n），由于y′=-

x

2

，
则切线l₂的斜率为k=-

m

2

，
切线l₂的方程为y-n=-

m

2

(x-m)，
又n=2-

m2

4

，
则切线l的方程为y=-

m

2

x+

m2

4

+2．
由

y=- m 2 x+ m2 4 +2 x2=4y

?x2+2mx-m2-8=0．，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-2m
x₁x₂=-m²-8，
∴y1+y2=-

m

2

(x1+x2)+

m2

2

+4=

3m2

2

+4，
y1y2=

(x1x2)2

16

=

(m2+8)2

16

．
又FD⊥FE，则x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
则-m²-8+

(m2+8)2

16

-(

3m2

2

+4)+1=0，
设t=m²+8，则有

t2

16

-t-

3

2

(t-8)-3=0，即t²-40t+144=0，
得t=36，t=4（舍去）．
所以t=m²+8=36，得m=±2

7

，n=-5．
故存在点M满足题意，此时点M的坐标是(±2

7

，-5)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了分析推理和基本的运算能力．