Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直，且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C为30°．

(Ⅰ)求证：AC上平面BB₁C₁C；

(Ⅱ)求AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值；

(Ⅲ)在平面AA₁B₁B内找一点P，使三棱锥P-BB₁C为正三棱锥，并求点P到平面BB₁C的距离．

Answer 1

解：(1)∵面BB₁C₁C⊥面ABC，交线为BC，

AC⊥BC，∴AC⊥面BB₁C₁C 

(Ⅱ)连B₁C，由(1)知AC⊥平面BB₁C₁C，

∴∠CB₁A就是AB₁与平面BB₁C₁C所成的角．

取BB₁中点E，连CE、AE，

在△CBB₁中，BB₁=BC=2，∠B₁BC=60°，

∴△CBB₁是正三角形，∴CE⊥BB₁，

又AC⊥平面BB₁C₁C，．∴AE⊥BB₁，

∴∠CEA为二面角A-BB₁-C的平面角，∠CEA=30°

在Rt△CEA中，AC=CEtan30°=1，

∴在Rt△AB₁C中，tan∠AB₁C=，

(Ⅲ)在CE上取点P₁,使=2，

则P₁为△B₁BC的重心即中心．作P₁P∥AC交AE于P

∵AC⊥平面BB₁C₁C，∴PP₁⊥面BB₁C₁C，

即P在平面B₁C₁C上的射影是△BCB₁中心

∴P- BB₁C为正三棱锥，且，∴PP₁=，

即P到平面BB₁C的距离为