Question

【题目】 (1)已知正数a，b满足a＋b＝1，求证：a2＋b2≥；

(2)设a、b、c为△ABC的三条边，求证：a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

试题（1）利用配方将a2＋b2化为1－2ab，再根据基本不等式证不等式（2）根据三角形两边之和大于第三边得a＋c>b，即得ab＋bc>b2，同理可得bc＋ca>c2 ，ab＋ca>a2，三式相加即得结论

试题解析：证明：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝1－＝.

(2)因为a，b，c是△ABC的三边，不妨设a≥b≥c>0，则a>b－c≥0，b>a－c≥0，c>a－b≥0.平方得：

a2>b2＋c2－2bc，b2>a2＋c2－2ac，c2>a2＋b2－2ab，

三式相加得：0>a2＋b2＋c2－2bc－2ac－2ab.

所以2ab＋2bc＋2ac>a2＋b2＋c2，

即a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．