Question

【题目】已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．
（Ⅰ）若k=1，且|AB|= ，求实数a的值；
（Ⅱ）若 =2 ，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．

Answer 1

【答案】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

（Ⅰ）由 得4x2+2x+1﹣a=0，

则x1+x2= ，x1x2= ，

则|AB|= = ，解得a=2．

（Ⅱ）由 ，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，

则x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

由 =2 得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），

解得x1=﹣2x2，代入上式得：

x1+x2=﹣x2=﹣ ，则x2= ，

= = ，

当且仅当k2=3时取等号，此时x2= ，x1x2=﹣2x22=﹣2× ，

又x1x2= = ，

则 =﹣ ，解得a=5．

所以，△AOB面积的最大值为 ，此时椭圆的方程为3x2+y2=5

【解析】（1）本小题的关键是线段AB长的表示，求得过程为；（2）本题关键在于三角形AOB面积的表示，求得过程为：S△AOB=.