Question

【题目】已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)．若关于x的不等式f[x2＋a(a＋2)]≤f(2ax＋2x)的解集为A，函数f(x)在[－8，8]上的值域为B，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[－2，0]
【解析】∵x≥0，f(x)＝log3(x＋1)为奇函数，
∴函数f(x)在R上为增函数．
∴f(x)在[－8，8]上也为增函数，且f(8)＝log3(8＋1)＝2，f(－8)＝－f(8)＝－2.
∴B＝{x|－2≤x≤2}．
∵f[x2＋a(a＋2)]≤f(2ax＋2x)，
∴x2＋a(a＋2)≤2ax＋2x，
即x2－(2a＋2)x＋a(a＋2)≤0，
解得a≤x≤a＋2，
A＝{x|a≤x≤a＋2}．
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以 ，即
∴－2≤a≤0.
根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．从集合角度看概念：
如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么
①“pq”，相当于“PQ”．即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了--有它就行．
②“qp”，相当于“PQ”，即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P--缺它不行．
③“pq”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物．