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    已知双曲线和椭圆有相同的焦点和，两曲线在第一象限内的交点为，椭圆与轴负半轴交于点，且三点共线，分有向线段的比为，又直线与双曲线的另一交点为，若．

    （1）求椭圆的离心率；

    （2）求双曲线和椭圆的方程．

    （1）（2）椭圆方程为，双曲线方程为


    解析:

    （1）设椭圆的方程为，由三点共线，且分有向线段的比为．

    得点的坐标为，代入椭圆方程，得椭圆的离心率．

    （2）由（1）可得椭圆的方程为，点的坐标为．

    直线的方程为．

    设双曲线的方程为，

    则．

    在双曲线上，

    ．

    化简，得，故．

    将直线的方程代入双曲线方程，得．

    由此，得．

    从而．

    椭圆方程为，双曲线方程为．

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