Question

下列命题中所有正确的是：

（1）（2）

（1）每个定义域关于原点对称的函数都可以分解为一个奇函数与一个偶函数的和．
（2）若f（x）可分解为一个奇函数与一个偶函数的和，则这种分解方法只有一种．
（3）非零奇函数与非零偶函数的和必为非奇非偶函数．
（4）f（x）=

9-x2

|x+5|+|3-x|

为非奇非偶函数．

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的定义和图象的性质分别判断即可．

解答：解：（1）因为f（x）=

f(x)+f(-x)

2

+

f(x)-f(-x)

2

，设g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，则g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，所以（1）正确．
（2）若f（x）可分解为一个奇函数与一个偶函数的和，不妨设f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，则f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），
则联立两式得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，此种分解方法只有一种，所以（2）正确．
（3）由（1）（2）的证明过程知，非零奇函数与非零偶函数的和不一定是非奇非偶函数．所以错误．
（4）因为函数的定义域为[-3，3]，所以此时f(x)=

9-x2

x+5+3-x

=

9-x2

8

为偶函数，所以（4）错误．
故答案为：（1），（2）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键，考查学生的分析能力．