Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短半轴长为1，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求椭圆C的方程
（2）直线l与椭圆C有唯一公共点M，设直线l的斜率为k，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），当|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，则a=2，即可求得椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，令△=0，得m²=4k²+1，由韦达定理可知：2x₀=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₀²=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，则OM丨²=x₀²+y₀²=$\frac{1+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，|OH|²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，由|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，即可求得k的值．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由题意可知b=1，
 由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，则a=2 
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；-------（4分）
（2）设直线l：y=kx+m，M（x₀，y₀）．-------（5分）
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，-------（6分）
令△=0，得m²=4k²+1，-------（7分）
由韦达定理得：2x₀=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₀²=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，-------（8分）
∴丨OM丨²=x₀²+y₀²=x₀²+（kx+m）²=$\frac{1+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$①-------（9分）
又|OH|²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，②-------（10分）
由|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，①②联立整理得：16k⁴-8k²+1=0-------（11分）
∴k²=$\frac{1}{4}$，
 解得：k=±$\frac{1}{2}$，
k的值±$\frac{1}{2}$．-------（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．