Question

18．如图1，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是AB边的中点，现把△ACP沿CP折成如图2所示的三棱锥A-BCP，使得$AB=\sqrt{10}$．
（1）求证：平面ACP⊥平面BCP；
（2）求平面ABC与平面ABP夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，得AO⊥CP，在△OCB中，有AO⊥OB，即AO⊥平面PCB，
可证平面ACP⊥平面CPB．
（2）因为AO⊥平面CPB，且OC⊥OE，故可如图建立空间直角坐标系，则$\overrightarrow{AB}=（-2，\sqrt{3}，-\sqrt{3}），\overrightarrow{AC}=（1，0，-\sqrt{3}）$，
求出平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解．

解答 解：（1）证明：在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，则AE⊥CP，
在图2中，取CP的中点O，连接AO，OB，因为AC=AP=CP=2，
所以AO⊥CP，且$AO=\sqrt{3}$，…（2分）
在△OCB中，由余弦定理有$O{B^2}={1^2}+{（{2\sqrt{3}}）^2}-2×1×2\sqrt{3}cos{30^0}=7$，…（3分）
所以AO²+OB²=10=AB²，所以AO⊥OB．…（4分）
又AO⊥CP，CP∩OB=O，所以AO⊥平面PCB，
又AO?平面ACP，所以平面ACP⊥平面CPB…（6分）

（2）因为AO⊥平面CPB，且OC⊥OE，故可如图建立空间直角坐标系，则$O（{0，0，0}），C（{1，0，0}），A（{0，0，\sqrt{3}}），P（{-1，0，0}），B（{-2，\sqrt{3}，0}）$，
$\overrightarrow{AB}=（-2，\sqrt{3}，-\sqrt{3}），\overrightarrow{AC}=（1，0，-\sqrt{3}）$，…（8分）
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$得$\vec m=（\sqrt{3}，3，1）$；…（10分）
同理可求得平面ABP的法向量为$\vec n=（-\sqrt{3}，-1，1）$，…（11分）
故所求角的余弦值$cosθ=|cos＜\vec m，\vec n＞|=|\frac{{-\sqrt{5}}}{{\sqrt{13}}}|=\frac{{\sqrt{65}}}{13}$．…（12分）

点评 本题考查了空间面面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．