Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+2在x=1处取得极值-1．
（1）求b、c的值；
（2）若关于x的方程f（x）+t=0在区间[-1，1]上有实根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=x³+bx²+cx+2在x=1处取得极值-1，可得f（1）=-1，f′（1）=0，可求得b，c的值；
（2）若关于x的方程f（x）+t=0在区间[-1，1]上有实根，设g（x）=f（x）+t=x³+x²-5x+2+t，则g′（x）=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1）求得g（x）的单调区间，得出g（x）在区间[-1，1]上递增，要使关于x的方程f（x）+t=0在区[-1，1]上有实根，只需

g(-1)≥0 g(1)≤1

由此解得实数t的取值范围即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c（1分）
由已知得：

f′(1)=3+2b+c=0 f(1)=3+b+c=-1

（2分）
解得：

b=1 c=-5

（1分）
（2）设g（x）=f（x）+t=x³+x²-5x+2+t，则g′（x）=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1）（1分）
∴g（x）的单调增区间是（-∞，-

5

3

），（1，+∞）；
单调减区间（-

5

3

，1）
∴g（x）在区间[-1，1]上递增（3分）
要使关于x的方程f（x）+t=0在区[-1，1]上有实根，只需

g(-1)≥0 g(1)≤1

，（2分）
解得：-7≤t≤1（2分）

点评：考查函数在某点取得极值的条件和利用导数研究函数的单调性，体现了解方程的思想方法，属基础题．