Question

如果函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且f（x）为增函数，f（x•y）=f（x）+f（y）．
（I）求f（1）的值；
（II）求证：f(

x

y

)=f(x)-f(y)；
（Ⅲ）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f（x•y）=f（x）+f（y），取x=y=1，可求出f（1）的值；
（II）结合抽象表达式用

x

y

代替x，y不变，即可化简变形得到f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（III）首先求得2=f（9），进而对不等式进行转化，然后结合函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调性，结合变形后的抽象函数即可获得变量a的满足的条件，解之即可求出a的取值范围．

解答：解：（I）f（x•y）=f（x）+f（y）令x=y=1
则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0
（II）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴f（

x

y

）+f（y）=f（

x

y

×y）=f（x）
因此，满足 f（

x

y

）=f（x）-f（y），
（III）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f（a）＞f（a-1）+2，则f（a）＞f（a-1）+f（9）=f[（a-1）•9]
∴

a-1＞0 a＞0 (a-1)•9＜a

解得：1＜a＜

9

8

，
故a的取值范围（1，

9

8

）

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用的综合类问题，同时考查了特值的思想、转化的思想以及计算和解不等式组的能力，属于中档题．