Question

（理）如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的对应过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m对应n，记作f（m）=n．给出下列结论：

（1）方程f（x）=0的解是x=

1

2

； 
（2）f(

1

4

)=1； 
（3）f（x）是奇函数；
（4）f（x）在定义域上单调递增；   
（5）f（x）的图象关于点(

1

2

，0)对称．
上述说法中正确命题的序号是

（1）（4）（5）

（填出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：由题中对映射运算描述，对四个命题逐一判断其真伪，
（1）m=

1

2

此时M恰好处在与A相对的y轴上，易得N与O重合，
（2）先利用f（

1

4

）=-1，判断出（2）错，
（3）在有实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，知（3）错
（4）可由图3，由M的运动规律观察出函数值的变化，得出单调性，
（5）可由图3中圆关于Y轴的对称判断出正误

解答：解：由题意
（1）是正确命题，因为当m=

1

2

此时M恰好处在与A相对的y轴上，此时N与O重合，故有f（m）=0，即 f(

1

2

)=0；
（2）如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当=

1

4

时．的坐标为（-

1

2π

，1-

1

2π

），直线AM的方程为所以点N的坐标为（-1，0），故f（

1

4

）=-1，即（2）错
（3）对于（3），因为实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，所以f（x）不存在奇偶性．故（3）错．
（4）是正确命题，由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f（x）在定义域上单调递增是正确的；
（5）是正确命题，由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于Y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点 (

1

2

，0)对称
综上知，（1）（4）（5）是正确命题，
故答案为：（1）（4）（5）．

点评：本题考查了在新定义的条件下解决函数问题，是一道很好的题．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题，解答本题关键是理解题设中所给的对应关系，正确认识三个图象的意义，由此对四个命题的正误作出判断，本题题型新颖，寓数于形，是一个考查理解能力的题，对题设中所给的关系进行探究，方可得出正确答案，本题易因为理解不了题意而导致无法下手，较抽象，难．