Question

已知函数(x-1)f(

x+1

x-1

)+f(x)=x，其中x≠1，求函数解析式．

Answer 1

分析：由题意，可令x=

x+1

x-1

再建立一个关于f（x）与f(

x+1

x-1

)的方程，利用解方程组的方法求得函数的解析式，

解答：解：∵函数(x-1)f(

x+1

x-1

)+f(x)=x，其中x≠1，
令x=

x+1

x-1

，得(

x+1

x-1

-1)f(x)+f(

x+1

x-1

)=

x+1

x-1

，整理得f(

x+1

x-1

)=

x+1

x-1

-(

x+1

x-1

-1)f(x)
将f(

x+1

x-1

)=

x+1

x-1

-(

x+1

x-1

-1)f(x)代入(x-1)f(

x+1

x-1

)+f(x)=x
整理得f（x）=1
故函数的解析式为f（x）=1

点评：本题考查函数解析式的求法，如本题这样对偶型的方程求解析式的方法，通常是再构建一个同类的方程，利用解方程组的方法求式，本题解答方法较为特殊，答后应注意总结本题中所给方程的特点及对应解法的原理