Question

设f（x）=|x+a|-2x，a＜0，不等式f（x）≤0的解集为M，且M⊆{x|x≥2}．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a取最大值时，求f（x）在[1，10]上的最大值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,集合的包含关系判断及应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用,集合

分析：（1）由绝对值的定义，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，求并集，即得M，再由集合的包含关系，即可得到a的取值范围；
（2）由（1）得到a的最大值，进而得到f（x）的表达式，运用分段函数表示f（x），再判断它的单调性，即可得到最大值．

解答： 解：（1）不等式f（x）≤0即|x+a|≤2x，等价于

x+a≥0 x+a≤2x

或

x+a＜0 -x-a≤2x

，
即有x≥-a或-

a

3

≤x＜-a，即x≥-

a

3

，
则不等式f（x）≤0的解集为M={x|x≥-

a

3

}，
由于M⊆{x|x≥2}，则-

a

3

≥2，解得a≤-6；
（2）由（1）知，a的最大值为-6，此时f（x）=|x-6|-2x，
当x∈[1，10]，f（x）=

-x-6，6≤x≤10 -3x+6，1≤x＜6

，
易知f（x）在[1，10]上为减函数，
则f（x）在[1，10]上的最大值为f（1）=3．

点评：本题考查绝对值不等式的解法和集合的包含关系，考查函数的单调性及运用：求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．